原標(biāo)題：機(jī)器學(xué)習(xí)之確定最佳聚類(lèi)數(shù)目的10種方法

雷鋒網(wǎng)AI科技評(píng)論按，本文作者貝爾塔，原文載于知乎專(zhuān)欄數(shù)據(jù)分析與可視化，雷鋒網(wǎng)AI科技評(píng)論獲其授權(quán)發(fā)布。

在聚類(lèi)分析的時(shí)候確定最佳聚類(lèi)數(shù)目是一個(gè)很重要的問(wèn)題，比如kmeans函數(shù)就要你提供聚類(lèi)數(shù)目這個(gè)參數(shù)，總不能兩眼一抹黑亂填一個(gè)吧。之前也被這個(gè)問(wèn)題困擾過(guò)，看了很多博客，大多泛泛帶過(guò)。今天把看到的這么多方法進(jìn)行匯總以及代碼實(shí)現(xiàn)并盡量弄清每個(gè)方法的原理。數(shù)據(jù)集選用比較出名的wine數(shù)據(jù)集進(jìn)行分析

因?yàn)槲覀円乙粋€(gè)數(shù)據(jù)集進(jìn)行聚類(lèi)分析，所以不需要第一列的種類(lèi)標(biāo)簽信息，因此去掉第一列。同時(shí)注意到每一列的值差別很大，從1到100多都有，這樣會(huì)造成誤差，所以需要?dú)w一化，用scale函數(shù)

去掉標(biāo)簽之后就可以開(kāi)始對(duì)數(shù)據(jù)集進(jìn)行聚類(lèi)分析了，下面就一一介紹各種確定最佳聚類(lèi)數(shù)目的方法

判定方法

1.mclust包

mclust包是聚類(lèi)分析非常強(qiáng)大的一個(gè)包，也是上課時(shí)老師給我們介紹的一個(gè)包，每次導(dǎo)入時(shí)有一種科技感:)幫助文檔非常詳盡，可以進(jìn)行聚類(lèi)、分類(lèi)、密度分析Mclust包方法有點(diǎn)“暴力”，聚類(lèi)數(shù)目自定義，比如我選取的從1到20，然后一共14種模型，每一種模型都計(jì)算聚類(lèi)數(shù)目從1到20的BIC值，最終確定最佳聚類(lèi)數(shù)目，這種方法的思想很直接了當(dāng)，但是弊端也就顯然易見(jiàn)了——時(shí)間復(fù)雜度太高，效率低。

635164可見(jiàn)該函數(shù)已經(jīng)把數(shù)據(jù)集聚類(lèi)為3種類(lèi)型了。數(shù)目分別為63、51、64。再畫(huà)出14個(gè)指標(biāo)隨著聚類(lèi)數(shù)目變化的走勢(shì)圖

下表是這些模型的意義

它們應(yīng)該分別代表著相關(guān)性(完全正負(fù)相關(guān)——對(duì)角線、稍強(qiáng)正負(fù)相關(guān)——橢圓、無(wú)關(guān)——圓)等參數(shù)的改變對(duì)應(yīng)的模型，研究清楚這些又是非常復(fù)雜的問(wèn)題了，先按下表，知道BIC值越大則說(shuō)明所選取的變量集合擬合效果越好。上圖中除了兩個(gè)模型一直遞增，其他的12模型數(shù)基本上都是在聚類(lèi)數(shù)目為3的時(shí)候達(dá)到峰值，所以該算法由此得出最佳聚類(lèi)數(shù)目為3的結(jié)論。mclust包還可以用于分類(lèi)、密度估計(jì)等，這個(gè)包值得好好把玩。

注意：此BIC并不是貝葉斯信息準(zhǔn)則?。?！

最近上課老師講金融模型時(shí)提到了BIC值，說(shuō)BIC值越小模型效果越好，頓時(shí)想起這里是在圖中BIC極大值為最佳聚類(lèi)數(shù)目，然后和老師探討了這個(gè)問(wèn)題，之前這里誤導(dǎo)大家了，Mclust包里面的BIC并不是貝葉斯信息準(zhǔn)則。

1.維基上的貝葉斯信息準(zhǔn)則定義

與log(likelihood)成反比，極大似然估計(jì)是值越大越好，那么BIC值確實(shí)是越小模型效果越好

2.Mclust包中的BIC定義[3]

這是Mclust包里面作者定義的“BIC值”，此BIC非彼BIC，這里是作者自己定義的BIC，可以看到，這里的BIC與極大似然估計(jì)是成正比的，所以這里是BIC值越大越好，與貝葉斯信息準(zhǔn)則值越小模型越好的結(jié)論并不沖突

2.Nbclust包

Nbclust包是我在《R語(yǔ)言實(shí)戰(zhàn)》上看到的一個(gè)包，思想和mclust包比較相近，也是定義了幾十個(gè)評(píng)估指標(biāo)，然后聚類(lèi)數(shù)目從2遍歷到15（自己設(shè)定），然后通過(guò)這些指標(biāo)看分別在聚類(lèi)數(shù)為多少時(shí)達(dá)到最優(yōu)，最后選擇指標(biāo)支持?jǐn)?shù)最多的聚類(lèi)數(shù)目就是最佳聚類(lèi)數(shù)目。

可以看到有16個(gè)指標(biāo)支持最佳聚類(lèi)數(shù)目為3，5個(gè)指標(biāo)支持聚類(lèi)數(shù)為2，所以該方法推薦的最佳聚類(lèi)數(shù)目為3.

3.組內(nèi)平方誤差和——拐點(diǎn)圖

想必之前動(dòng)輒幾十個(gè)指標(biāo)，這里就用一個(gè)最簡(jiǎn)單的指標(biāo)——sumofsquarederror(SSE)組內(nèi)平方誤差和來(lái)確定最佳聚類(lèi)數(shù)目。這個(gè)方法也是出于《R語(yǔ)言實(shí)戰(zhàn)》，自定義的一個(gè)求組內(nèi)誤差平方和的函數(shù)。

隨著聚類(lèi)數(shù)目增多，每一個(gè)類(lèi)別中數(shù)量越來(lái)越少，距離越來(lái)越近，因此WSS值肯定是隨著聚類(lèi)數(shù)目增多而減少的，所以關(guān)注的是斜率的變化，但WWS減少得很緩慢時(shí)，就認(rèn)為進(jìn)一步增大聚類(lèi)數(shù)效果也并不能增強(qiáng)，存在得這個(gè)“肘點(diǎn)”就是最佳聚類(lèi)數(shù)目，從一類(lèi)到三類(lèi)下降得很快，之后下降得很慢，所以最佳聚類(lèi)個(gè)數(shù)選為三

另外也有現(xiàn)成的包(factoextra)可以調(diào)用

選定為3類(lèi)為最佳聚類(lèi)數(shù)目用該包下的fviz_cluster函數(shù)可視化一下聚類(lèi)結(jié)果

4.PAM(PartitioningAroundMedoids)圍繞中心點(diǎn)的分割算法

k-means算法取得是均值，那么對(duì)于異常點(diǎn)其實(shí)對(duì)其的影響非常大，很可能這種孤立的點(diǎn)就聚為一類(lèi)，一個(gè)改進(jìn)的方法就是PAM算法，也叫k-medoidsclustering首先通過(guò)fpc包中的pamk函數(shù)得到最佳聚類(lèi)數(shù)目

3

pamk函數(shù)不需要提供聚類(lèi)數(shù)目，也會(huì)直接自動(dòng)計(jì)算出最佳聚類(lèi)數(shù)，這里也得到為3得到聚類(lèi)數(shù)提供給cluster包下的pam函數(shù)并進(jìn)行可視化

5.Calinskycriterion

這個(gè)評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)定義[5]如下：其中，k是聚類(lèi)數(shù)，N是樣本數(shù)，SSw是我們之前提到過(guò)的組內(nèi)平方和誤差，SSb是組與組之間的平方和誤差，SSw越小，SSb越大聚類(lèi)效果越好，所以Calinskycriterion值一般來(lái)說(shuō)是越大，聚類(lèi)效果越好

可以看到該函數(shù)把組內(nèi)平方和誤差和Calinsky都計(jì)算出來(lái)了，可以看到calinski在聚類(lèi)數(shù)為3時(shí)達(dá)到最大值。

3

畫(huà)圖出來(lái)觀察一下

注意到那個(gè)紅點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)的最大值，自帶的繪圖橫軸縱軸取的可能不符合我們的直覺(jué)，把數(shù)據(jù)取出來(lái)自己?jiǎn)为?dú)畫(huà)一下

這個(gè)看上去直觀多了。這就很清晰的可以看到在聚類(lèi)數(shù)目為3時(shí)，calinski指標(biāo)達(dá)到了最大值，所以最佳數(shù)目為3

6.Affinitypropagation(AP)clustering

這個(gè)本質(zhì)上是類(lèi)似kmeans或者層次聚類(lèi)一樣，是一種聚類(lèi)方法，因?yàn)椴恍枰駅means一樣提供聚類(lèi)數(shù)，會(huì)自動(dòng)算出最佳聚類(lèi)數(shù)，因此也放到這里作為一種計(jì)算最佳聚類(lèi)數(shù)目的方法。AP算法的基本思想是將全部樣本看作網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)，然后通過(guò)網(wǎng)絡(luò)中各條邊的消息傳遞計(jì)算出各樣本的聚類(lèi)中心。聚類(lèi)過(guò)程中，共有兩種消息在各節(jié)點(diǎn)間傳遞，分別是吸引度(responsibility)和歸屬度(availability)。AP算法通過(guò)迭代過(guò)程不斷更新每一個(gè)點(diǎn)的吸引度和歸屬度值，直到產(chǎn)生m個(gè)高質(zhì)量的Exemplar（類(lèi)似于質(zhì)心），同時(shí)將其余的數(shù)據(jù)點(diǎn)分配到相應(yīng)的聚類(lèi)中[7]

15

該聚類(lèi)方法推薦的最佳聚類(lèi)數(shù)目為15，再用熱力圖可視化一下

選x或者y方向看(對(duì)稱(chēng))，可以數(shù)出來(lái)“葉子節(jié)點(diǎn)”一共15個(gè)

7.輪廓系數(shù)Averagesilhouettemethod

輪廓系數(shù)是類(lèi)的密集與分散程度的評(píng)價(jià)指標(biāo)。

a(i)是測(cè)量組內(nèi)的相似度,b(i)是測(cè)量組間的相似度，s(i)范圍從-1到1，值越大說(shuō)明組內(nèi)吻合越高，組間距離越遠(yuǎn)——也就是說(shuō)，輪廓系數(shù)值越大，聚類(lèi)效果越好[9]

可以看到也是在聚類(lèi)數(shù)為3時(shí)輪廓系數(shù)達(dá)到了峰值，所以最佳聚類(lèi)數(shù)為3

8.GapStatistic

之前我們提到了WSSE組內(nèi)平方和誤差，該種方法是通過(guò)找“肘點(diǎn)”來(lái)找到最佳聚類(lèi)數(shù)，肘點(diǎn)的選擇并不是那么清晰，因此斯坦福大學(xué)的Robert等教授提出了GapStatistic方法，定義的Gap值為[9]

取對(duì)數(shù)的原因是因?yàn)閃k的值可能很大通過(guò)這個(gè)式子來(lái)找出Wk跌落最快的點(diǎn)，Gap最大值對(duì)應(yīng)的k值就是最佳聚類(lèi)數(shù)

可以看到也是在聚類(lèi)數(shù)為3的時(shí)候gap值取到了最大值，所以最佳聚類(lèi)數(shù)為3

9.層次聚類(lèi)

層次聚類(lèi)是通過(guò)可視化然后人為去判斷大致聚為幾類(lèi)，很明顯在共同父節(jié)點(diǎn)的一顆子樹(shù)可以被聚類(lèi)為一個(gè)類(lèi)

10.clustergram

最后一種算法是TalGalili[10]大牛自己定義的一種聚類(lèi)可視化的展示，繪制隨著聚類(lèi)數(shù)目的增加，所有成員是如何分配到各個(gè)類(lèi)別的。該代碼沒(méi)有被制作成R包，可以去Galili介紹頁(yè)面)里面的github地址找到源代碼跑一遍然后就可以用這個(gè)函數(shù)了，因?yàn)樵创a有點(diǎn)長(zhǎng)我就不放博客里面了，直接放出運(yùn)行代碼的截圖。

隨著K的增加，從最開(kāi)始的兩類(lèi)到最后的八類(lèi)，圖肯定是越到后面越密集。通過(guò)這個(gè)圖判斷最佳聚類(lèi)數(shù)目的方法應(yīng)該是看隨著K每增加1，分出來(lái)的線越少說(shuō)明在該k值下越穩(wěn)定。比如k=7到k=8，假設(shè)k=7是很好的聚類(lèi)數(shù)，那分成8類(lèi)時(shí)應(yīng)該可能只是某一類(lèi)分成了兩類(lèi)，其他6類(lèi)都每怎么變。反應(yīng)到圖中應(yīng)該是有6簇平行線，有一簇分成了兩股，而現(xiàn)在可以看到從7到8，線完全亂了，說(shuō)明k=7時(shí)效果并不好。按照這個(gè)分析，k=3到k=4時(shí)，第一股和第三股幾本沒(méi)變，就第二股拆成了2類(lèi)，所以k=3是最佳聚類(lèi)數(shù)目

方法匯總與比較

wine數(shù)據(jù)集我們知道其實(shí)是分為3類(lèi)的，以上10種判定方法中：

可見(jiàn)上述方法中有的因?yàn)閿?shù)據(jù)太大不能運(yùn)行，有的結(jié)果很明顯不對(duì)，一個(gè)可能是數(shù)據(jù)集的本身的原因（缺失值太多等），但是也告訴了我們?cè)诖_定最佳聚類(lèi)數(shù)目的時(shí)候需要多嘗試幾種方法，并沒(méi)有固定的套路，然后選擇一種可信度較高的聚類(lèi)數(shù)目。最后再把這10種方法總結(jié)一下：